Rényi Alfréd (1921-1970) akadémikus, a magyar valószínûségszámítási iskola megteremtője, kiváló pedagógus és tudományos vezető. Kulturált, szellemes, nagy munkabírású, segítőkész ember volt. Sokat tett a matematika népszerûsítéséért. A tudományról írt cikkei, könyvei szépirodalmi értékûek.

Érdekes volna közvélemény-kutatással megállapítani, hogy a lottózók hányad része tudja, hogy amikor a lottószelvénnyel megjelöl 5számot a 90 közül, 43 949 263 lehetőség közül választhat?1 Ennek megfelelően annak a valószínûsége, hogy egyetlen szelvénnyel ötös találatot érjen el valaki = 0,000 000 022 98. A lottójáték őse a genovai lottó: Genovában a XVI. században 90 szenátor volt, ezek közül időnként ötnek a nevét sorsolták ki különböző feladatok elvégzésére, és a szenátorok neveire fogadni lehetett. Az első, a miénkhez hasonló lottót XIV. Lajos, a „napkirály" hozta létre 1700-ban, Loterie Nationale néven. E lottó százötven évig állt fenn, ezalatt ötös találatot senki sem ért el. Ez nem meglepő, mert akkoriban sokkal kevesebben lottóztak. Emellett a francia lottó szabályai némileg különböztek a miénktől: lehetett csak 2, 3 vagy 4 számot is megtenni, amely esetben persze az ötös találat lehetősége eleve ki volt zárva. A Loterie Nationale mintájára az első világháború előtt Magyarországon is rendeztek lottót, ill. ahogy akkor nevezték, „lutri"-t. E játék nagy szerepet játszik Móricz Zsigmond Légy jó mindhalálig c. regényében. Ma Magyarországon hetente átlag 6 és fél millió lottócédula vesz részt a sorsoláson; ennek következtében 1/7 körül van annak a valószínûsége, hogy egy húzásnál legyen ötös találat, tehát átlagban minden hetedik húzásnál várható ötös találat, és így várható, hogy évente 7-8 ötös találatot érjenek el. Valóban, 1963-ban 8, 1964-ben 4, 1965- ben 9, 1966-ban pedig 12 ötös találat volt. Persze az ötös találatok száma kicsiny, így a valószínûségszámítás törvényei alapján viszonylag nagy ingadozásokra lehet számítani a várható szám körül. A négyes találatok számát sokkal pontosabban lehet előre látni. A négyes találat valószínûsége: 1/103 410. Mivel 1966 első fél évében 168605 623 szelvény vett részt a lottóban, a négyes találatok várható száma: 1630; a négyes találatok tényleges száma ebben a fél évben ennél alig volt több; pontosan 1714. Az eltérés tehát 84.

Vizsgáljuk meg, hogy ez az eltérés szokatlanul nagy-e, vagy azon határokon belül van, amelyeket a valószínûségszámítás alapján várhatunk. Első közelítésként tegyük fel, hogy a szelvényeket egymástól függetlenül töltik ki, és minden 5-öst olyan valószínûséggel választanak a lottózók. Ezen a feltevés mellett a 4-es találatok tényleges számának eloszlása a várható érték körül közelítőleg a Gauss-görbét követi, és annak, hogy az eltérés 8 vagy annál nagyobb legyen, a valószínûsége 5%. Így tehát, bár általában kisebb eltérés várható, ez az eltérés még nem tekinthető jelentősnek, „szignifikánsnak".

Vizsgáljuk meg hasonló szempontból a 3-as találatok számát is. A hármas találat valószínûsége: 1/1231, tehát a hármas találatok várható száma az összes szelvények számának 1231-ed része. 1965-ben 318 149 339 szelvény vett részt a sorsolásban, így a hármas találatok várható száma 258 448. Valójában 1965- ben 256 691 hármas találat volt, vagyis a tényleges szám kevesebb, mint 1%-kal maradt csak el a várható számtól. Bár az egyezés a nem szakemberek szemében jónak tûnhet, ha kiszámítjuk, hogy a várható számtól való ekkora eltérésnek mi a valószínûsége, rendkívül kis értéket kapunk; a statisztikában használatos kifejezéssel az eltérés erősen szignifikáns. Az a feltevésünk, hogy a lottózók teljesen találomra töltik ki a szelvényeket - úgy, mintha ők maguk is egy lottókerékből húznák ki az öt számot -, tehát nem teljesen helytálló; valóban tudjuk, hogy sokan több szelvénnyel lottóznak, amelyeket különféle rendszerek alapján töltenek ki, továbbá a 90 szám között vannak olyanok, amelyek „népszerûbbek", és olyanok, amelyek kevésbé népszerûek a lottózók körében. E körülmények a 3-as találatok várható száma körüli ingadozásokat (a szórást) erősen megnövelik. Ez mutatkozik meg az előbb említett szignifikáns eltérésben.

1. ábra

Térjünk vissza az ötös találatok számához, hiszen ez a kérdés érdekli leginkább a lottózókat.

Mint mondottuk, átlagban minden hetedik héten várható egy ötös találat. Ezért érdekes a szóban forgó időszakot 7 hétből álló szakaszokra osztani, és megvizsgálni, hogy ezek közül hány olyan volt, amikor a hét húzás során összesen 0, 1, 2, ... ötös találat volt. Erről ad képet az alábbi táblázat és grafikon 1963-tól 1965 közepéig, huszonnyolc egymás után következő, 7 húzásból álló sorozatra vonatkozóan (lásd az 1. ábrát).

Ötös találatok száma 0 1 2 3 4

7 hetes időszakok száma 10 9 6 2 1

E kérdés valószínûségszámítási hátterét megvilágítja a következő egyszerû kísérlet. Egy zacskóban 8000 golyó van, ezek közül 80 fehér, a többi piros. A fehér golyók száma tehát az összes golyók számának1/100-át teszi ki. Egy kis lapátot, amelyen 100 darab, a golyók méretével egyező, félgömb alakú bemélyedés van, a zacskóban bemerítve, azzal pontosan 100 golyót emelünk ki: így a lapáton a fehér golyók várható száma éppen egy lesz - ugyanúgy, mint az ötös találatok várható száma 7 egymás utáni húzás során.

Így annak a valószínûsége, hogy a lapáton ne legyen fehér golyó, ugyananynyi, mint annak a valószínûsége, hogy 7 húzás során ne legyen 5-ös találat; hasonlóképpen annak a valószínûsége, hogy a lapáton pontosan egy fehér golyó legyen, ugyanannyi, mint hogy 7 húzás során éppen egy 5-ös találat legyen stb. E két valószínûség egyébként elméletileg az ún. Poisson-féle eloszlás segítségével határozható meg, értékük ugyanaz, mégpedig 1/e= 0,367 879 44, ahol e a természetes logaritmus alapszáma, vagyis e= 2,718 281 83... Annak a valószínûsége, hogy két vagy több ötös találat legyen 7 húzás alatt, ugyanakkora, mint annak a valószínûsége, hogy a lapáton két fehér golyó legyen, az előbbi valószínûségnek pont a fele: 1/(2e)= 0,183 939 72; hogy 3 fehér golyó legyen, ennek a valószínûsége: 1/(6e)= 0,061 313 24, 4 fehér golyó valószínûsége: 1/(24e)= 0,015 328 51, ennél több fehér golyó valószínûsége már igen csekély: 1/1000 alatt van.

2. ábra

E valószínûségeket a 2. ábra mutatja.

Végezzük most el a kísérletet egymás után 28-szor. A kísérletek eredményeit egy egyszerû készülékkel regisztrálhatjuk, aszerint, hogy a lapáton 0, 1, 2 ... fehér golyó van, a 0, 1, 2... sorszámú rekeszbe helyezünk el egy-egy kockát. Így a kísérlet végén előáll a tapasztalati eloszlás szemléletes képe, amelyet a statisztikában hisztogramnak neveznek. Várható, hogy e kép hasonlítani fog a Poisson-eloszlás fenti grafikonjához. A tapasztalati eloszlás elég jól megegyezik az elméletivel, és hasonlít az ötös találatok eloszlására is. Ennél jobb egyezést nem is várhattunk volna ilyen kevés kísérletből. Ha nem 28, hanem pl. 1000 kísérletet végeztünk volna, a megegyezés sokkal jobb volna, és ha az összes kísérletek számát elosztanánk azon kísérletek számával, amikor a lapátkán nincs fehér golyó, jó közelítő értéket kapnánk a természetes logaritmus alapszáma, az e=2,7182... számra, amely a matematikában szereplő legfontosabb számok egyike. (Az ötös találatok számából az e számra a 2,8 közelítést nyerjük.) Ennek persze semmilyen gyakorlati jelentősége nincs, hiszen ha az a célunk, hogy az e szám végtelen tizedes tört előállításában minél több jegyet meghatározzunk, erre sokkal gyorsabb és megbízhatóbb eljárások állnak rendelkezésre. Az e szám tizedes tört kifejtésének első tízezer számjegyét elektronikus számológéppel kiszámították. A kérdésnek pusztán elvi jelentősége van, hiszen azt mutatja, hogy a valószínûségszámítási kísérletek segítségével közelítőleg meg lehet oldani olyan matematikai feladatokat, amelyeknek a véletlenhez semmi közük sincs.

E módszert újabban széles körben alkalmazzák, és a módszer a Monte-Carlo-módszer néven ismeretes. Az első atombomba előállítása során e módszer segítségével oldottak meg Neumann János, Ulamés Metropolis olyan (az atombombába helyezendő uránium mennyiségének meghatározásával kapcsolatos) matematikai problémákat, amelyek megoldására más módszer nem állt rendelkezésre. Õtőlük származik a Monte Carlo-módszer elnevezés is. Ez az elnevezés arra utal, hogy a módszer alapjául szolgáló, véletlentől függő alapadatokat, ún. véletlen számokat elvben úgy is nyerhetjük, hogy a monte-carlói kaszinóban a rulettnél kijövő eredményekből indulunk ki.

A rulettjátékot a rulettkészülékkel játsszák, amely egy forgatható korongból áll, melyen harminchét kis rekesz van, 0-tól 36-ig megszámozva. A 0-val jelölt rekesz zöld színû, a többi 36 szám fele piros, fele fekete. A játék abban áll, hogy a készüléket megforgatják, és egy abban levő kis fehér golyócska a készülék megállásakor valamelyik rekeszbe jut. A monte-carlói, valamint más nagyobb játékkaszinók, pl. Bécs melletti badeni kaszinó is, saját újságot adnak ki, amelyben rendszerint közzéteszik a ruletteredményeket. Elvben ezen eredményeket fel lehetne használni a Monte-Carlo-módszer alkalmazása során, véletlen számokként. Ha a 0-tól eltekintjük, amely a bank előnyét hivatott szolgálni (ugyanis, ha a 0 jön ki, akkor a bank nyeri el azoknak a pénzét, akik pirosra tettek, és azokét is, akik feketére fogadtak), a piros és fekete valószínûsége a rulettnél 1/2.

3. ábra

A játékkaszinók törzsvendégei különböző játékrendszerekre esküsznek, azonban e rendszerek egyike sem állja ki a tudományos kritikát. Matematikailag bebizonyítható, hogy biztos nyerő rendszer nem létezik. A népszerû játékrendszerek azt a kétségtelen tényt szeretnék valamilyen módon kihasználni, hogy hosszú távon a piros körülbelül ugyanolyan sokszor fordul elő, mint a fekete. Bár ez kétségtelenül igaz, ennek alapján biztosan nyerő rendszer nem állítható fel. Ha például háromszor egymás után piros jött ki, a következő alkalommal továbbra is 1/2 a valószínûsége a pirosnak és a feketének egyaránt, pontosan ugyanúgy, mintha az előző három alkalommal fekete jött volna ki, vagy bármely más esetben. Az egymás után következő eredmények ugyanis teljesen függetlenek egymástól, és így annak a valószínûsége, hogy a legközelebbi alkalommal piros jöjjön ki, nem függ az előző bármilyen hosszú eredménysorozattól. Vannak megszállott játékosok, akik nem úgynevezett játékrendszerekben, hanem megérzéseikben, intuíciójukban bíznak. Példa erre Gály Lajos, a múlt század végének híres játékosa, akiről Kellér Andor írt Arulettkirálycímen érdekes, regényes életrajzot. Vannak olyan játékosok, akik a csillagok állása szerint játszanak. A véletlen törvényeivel szemben azonban az asztrológia sem segít.

Mindezen játékosokra vonatkozik Bertrand francia matematikusnak az a szellemes megállapítása, hogy „nagyon túlbecsüli a rulettgolyót, aki azt hiszi, hogy a golyónak lelkiismerete vagy emlékezőtehetsége van". A rulettjátékosok között elterjedt tévhit az is, hogy úgy lehet biztos nyereségre szert tenni, hogy miután egy játékos szerény nyereségre tett szert, abbahagyja a játékot, és csak másnap folytatja. Valójában teljesen mindegy, hogy aznap vagy másnap folytatja-e a játékot, ez a nyerés esélyeire semmilyen befolyással nem lehet. Persze egyes játékosok időnként véletlenül (nem azért, mert a játékrendszerük „jó", hanem egyszerûen, mert szerencséjük van) nagy nyereségre tehetnek szert, de hosszú távon a rulett csak a banknak jövedelmező.

A Monte-Carlo-módszer gyakorlati alkalmazásai során természetesen nem rulettel állítják elő a véletlen számokat, ugyanis ez a módszer túlságosan lassú volna. Ugyancsak túl lassúak azok az eljárások, amelyek véletlentől függő fizikai mennyiségek (pl. radioaktív bomlás, sörétzaj, kozmikus sugárzás stb.) megfigyelése útján nyernek „valódi" véletlen számokat. Mivel a módszert főként elektronikus számológépen használják, a véletlen számok előállítására a legcélszerûbb olyan eljárást használni, amelynek segítségével maga a gép állítja elő folyamatosan menet közben a számításhoz szükséges véletlen számokat. A Monte Carlo-módszer kézi használatának elősegítésére számos véletlenszám-táblázat jelent meg nyomtatásban. Kendall és Babbington- Smith véletlenszám-táblázatukat telefonkönyvek felhasználásával, Tippet népszámlálási adatokból, mások véletlen fizikai jelenségek (pl. neoncsövek áramingadozásai) megfigyelése útján vagy a véletlent jól utánzó matematikai eljárásokkal nyerték. Az utóbbi módon nyert véletlen-számokat „pszeudovéletlen" (álvéletlen) számoknak nevezik, hiszen e számokat valójában nem a véletlen produkálja, de ennek ellenére majdnem olyan tulajdonságúak, mint a valódi véletlen-számok. Az elektronikus számológépek által „gyártott" véletlen- számok is a pszeudo-véletlenszámok közé tartoznak. Véletlen-számok generálására kockadobás, pénzfeldobás is használható, vagy például egy számgenerátor, amelyen 9 fekete és 1 fehér golyó van. A készüléket megrázva és lefelé fordítva a golyók véletlenszerû sorrendben helyezkednek el (lásd a 3. ábrát).

Megszámolva, hogy a fehér golyó alatt hány fekete golyó helyezkedik el, ez a szám ugyanakkora, azaz 1/10 valószínûséggel lehet 0-tól 9-ig bármely szám. Persze ez az eljárás rendkívül lassú.

A Monte-Carlo-módszert, mint mondottam, komoly matematikai probléma megoldására először a II. világháború alatt alkalmazták. A módszer előzményei azonban a XVIII. századig nyúlnak vissza. Buffon francia matematikustól származik a következő érdekes megjegyzés: Ha egy pálcikát véletlenszerûen dobunk egy asztalra, melyen párhuzamos egyenes vonalak vannak meghúzva, oly módon, hogy két szomszédos vonal távolsága a pálcika hosszának éppen a kétszerese, annak a valószínûsége, hogy a pálcika olyan helyzetben esik az asztalra, hogy átmetszi valamelyik meghúzott vonalat, 1-p -vel egyenlő, ahol p a geometriából jól ismert Ludolf-féle szám, melynek - mint jól tudjuk - közelítő értéke 3,141 59... Ha tehát sokszor dobjuk a pálcikát az asztalra, és az összes dobás számát elosztjuk azoknak a dobásoknak a számával, melyeknél a pálcika úgy esik, hogy metsz egy vonalat, a p számra kapunk közelítő értéket. Megjegyzendő, hogy Buffon eredménye azon feltevés mellett helyes, hogy a pálca minden irányba ugyanolyan valószínûséggel eshet, és középpontja is ugyanakkora valószínûséggel eshet, és középpontja is ugyanakkora valószínûséggel esik az asztallap bármely két egymással egybevágó részére. E feltételeket pontosan megvalósítani nehéz, és ezért ez úton még nagyszámú kísérlet esetén sem nyerünk a p számra jó közelítést. Elég jól megközelíti e feltevéseket, ha a pálcikák dobását egy, a libikókához hasonló berendezéssel végezzük, amelynek egyik végére helyezzük a pálcát, a másik végét gyors mozdulattal lenyomva a pálca felrepül, repülés közben a levegőben általában többször is megfordul, mielőtt az asztallapra esne. Pálcikának használhatjuk pl. a marokkó- játék pálcikáit. Persze nem az a kísérlet célja, hogy p értékét ez úton minél pontosabban határozzuk meg, ehhez nincs szükség a Buffon-féle kísérletre, hiszen a p hiszen számot jól ismerjük, a p szám végtelen tizedes tört előállításának elektronikus számológép segítségével több mint százezer jegyét határozták meg, míg a Buffon-féle kísérlettel a p számot legfeljebb 2-3 tizedesjegy pontossággal lehet megkapni. A Buffon-féle kísérletnek tehát kizárólag elvi jelentősége van, mert jól szemlélteti a Monte-Carlo-módszer lényegét, azt, hogy valószínûségszámítási kísérletek segítségével meg lehet közelítőleg oldani olyan matematikai problémákat, amelyeknek közvetlenül a véletlenhez látszólag semmi közük nincs.

A Monte-Carlo-módszert a mindennapi életben is alkalmazhatjuk, például a pontos idő közelítő meghatározására. A legtöbb ember órája nem tökéletesen pontos, néhány perccel (vagy másodperccel) többet vagy kevesebbet mutat a pontos időnél. Ha pl. egy vasúti fülkében utazó emberektől egyidejûleg megkérdezzük, hogy órájuk mennyi időt mutat, a kapott válaszok középértéke nagy valószínûséggel közel lesz a pontos időhöz, feltéve, hogy a megkérdezettek egyikének az órája sem késik vagy siet többet 2-3 percnél.

Visszatérve a Poisson-eloszlásra megjegyzem, hogy a Poisson-eloszlást szokták a ritka események eloszlásának is nevezni. Bortkiewitz még a múlt század végén feldolgozta a porosz lovasság által vezetett adatokat arról, hogy évente hány katonát rúgtak meg a lovak: azt találta, hogy e számok eloszlása igen jól egyezik a Poisson eloszlással. Hasonló eredményekre jutunk, ha az évenkénti ikerszületések számát, a különböző körzetekben élő 100 évnél idősebb emberek számát, különböző balesetek számát vizsgáljuk. A vörös vérsejtek száma a mikroszkóp alatt, a hulló csillagok száma augusztusi éjszakákon, egy radioaktív anyagból adott idő alatt elbomló atomok száma - mindezek jó közelítéssel Poissoneloszlást követő, véletlentől függő mennyiségek - matematikai szakkifejezéssel: Poisson-eloszlású valószínûségi változók. Poisson-eloszlást követ például egy postahivatalhoz naponta beérkező hibás címzésû levelek száma is.

Megjegyzem, hogy a budapesti Postaigazgatóság évente 6 napon át számolja a hiányos címzésû levelek számát. E szúrópróba szerint 1966-ban a szóban forgó 6 nap alatt Budapesten feladott levelek közül 10 530 volt hibás. Az 1965-ben végzett hasonló felmérésnél ugyancsak 6 nap alatt 10 391 hiányos címzésû feladott levelet számoltak öszsze. Azt jelenti ez, hogy a pestiek 1966- ban szórakozottabbak voltak, mint 1965-ban? Ez elhamarkodott következtetés volna: az adatokat alaposan megvizsgálva kiderül, hogy az eltérés nem szignifikáns, vagyis pusztán a véletlennel magyarázható, és ezen adatokból nem indokolt arra következtetni, hogy megnőtt annak a valószínûsége, hogy egy Budapesten feladott levél hiányos címzésû legyen. Jó példa ez arra, hogy a véletlen ingadozást végző adatokból levont következtetéseknél nagy körültekintéssel kell eljárni, nem lehet az ilyen adatokból „ránézésre" következtetéseket levonni, hanem azokat a matematikai statisztika által e célra kidolgozott módszerekkel, az ún. „statisztikai próbák"- kal kell analizálni.